Elle est la troisième femme à décrocher la médaille Fields en 90 ans. La mathématicienne Ron Wang vient d'être récompensée pour ses travaux autour de la conjecture de Khakis, un problème mathématique posé il y a plus d'un siècle. Mais c'est quoi une grande conjecture en mathématiques ?

– C’est un énoncé mathématique qu’on pense être vrai, mais pour lequel on n’a pas de démonstration. C’est quelque chose qui résiste aux mathématiciens mathématiciens depuis quelques mois, quelques années, quelques siècles. Il peut y avoir des conjectures qui existent depuis l’Antiquité. En plus, régulièrement, quand il y a une conjecture qui va plus longtemps, il y a parfois d’autres problèmes qui en découlent directement.

Celle de Kakeya remonte à 1917, quand le mathématicien japonais Soichi Kakeya s’est posé une question a priori plutôt anodine : quelle est la plus petite surface à l’intérieur de laquelle on puisse retourner une aiguille ? Mais ce problème de géométrie en apparence trivial s’est révélé très complexe.

– Il y en a qui sont encore plus simples et qu’on ne sait pas résoudre, par exemple, qui utilisent que des nombres entiers, des multiplications, des additions. Et on ne va pas réussir à les résoudre. C’est même souvent les plus difficiles. En fait, ça veut dire qu’il y a une mécanique beaucoup plus profonde et à laquelle on n’a pas forcément accès et on est bloqué, on ne sait pas par où l’attaquer.

On ne comprend pas encore tout. Un peu comme... il y a des particules dans l’Univers qu’on n’a pas réussi à trouver. C’est le fait qu’il y ait des mystères comme ça qui donnent envie d’aller creuser. Et donc oui, les conjectures, ça va être un énorme moteur parce qu’il y a une question ouverte derrière, il y a quelque chose à découvrir.

La question de Kakeya a fasciné et a évolué. On a fini par laisser de côté le mouvement de l’aiguille pour chercher les plus petites figures contenant l’aiguille dans toutes ses directions possibles. Et en 1928, coup de théâtre : le Russe Abram Besicovitch démontre qu’il est possible de construire une telle surface avec une aire nulle. Puis le problème s’est encore corsé quand on est passé en trois dimensions.

La quête d’une réponse a conduit aux figures fractales et s’est même avérée liée à d’autres domaines des maths comme la théorie des nombres. Et c’est seulement en février 2025, que Hong Wang et son collègue Joshua Zahl ont résolu la conjecture de Kakeya en dimension trois.

– La dimension trois, c’est la dimension du monde physique. On ne vit pas dans un plan Et donc c’est une étape importante pour mieux comprendre le monde physique. Parce que le fait d’avoir des objets géométriques dans des directions différentes mais concentrées ensemble, c’est en quelque sorte penser un phénomène d’intersection, d’interférences des objets physiques comme des ondes. Et donc il y aura potentiellement des applications, peut être pas tout de suite, mais en tout cas pour les questions d’information, de tomographie, peut être aussi de visualisation des données, etc.

Mais le but des mathématiques fondamentales, c’est d’abord d’avoir une compréhension globale des phénomènes.

Et là, le fait d’avoir mis en lumière toute cette mécanique, c’est comme si on avait un objet qu’on savait voir depuis longtemps et on découvrait en fait que c’était l’ombre de quelque chose de beaucoup plus gros. Ça peut tout à fait ouvrir des nouveaux domaines auxquels on n’avait pas pensé.